Question

19．ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．
（1）求角B的大小；
（2）若BD为AC边上的中线，cosA=$\frac{1}{7}$，BD=$\frac{{\sqrt{129}}}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可．
（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面积公式可求结果；

解答 解：（1）∵$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}$，
∴代入已知等式得：$2b•\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=2a-c$，
整理得：a²+c²-b²=ac，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）在△ABC中，cosA=$\frac{1}{7}$，
∴sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{14}$，
∴$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}=\frac{7}{5}$，
设b=7x，c=5x，
∵BD为AC边上的中线，BD=$\frac{{\sqrt{129}}}{2}$，
由余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA，
∴$\frac{129}{4}$=25x²+$\frac{1}{4}$×49x²-2×5x×$\frac{1}{2}$×7x×$\frac{1}{7}$
解得x=1，
∴b=7，c=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×7×5×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，熟记相关公式并灵活运用是解题关键，属于中档题．