Question

9．已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，四边形ABCD为正方形，点E是PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 设棱长都为1，连接AC，BD交于点O，连接OE，推导出OE∥PD，∠AEO或其补角为异面直线AE与PD所成的角．由此能求出异面直线AE与PD所成角的余弦值．

解答 解：设棱长都为1，连接AC，BD交于点O，连接OE．
∵所有棱长都相等，不妨设ABCD是正方形．
∴O是BD的中点，且OE∥PD，
∴∠AEO或其补角为异面直线AE与PD所成的角．
又OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在△OAE中，
由余弦定理得cos∠AEO=$\frac{A{E}^{2}+O{E}^{2}-O{A}^{2}}{2AE•OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴异面直线AE与PD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．