Question

20．已知关于x的方程3x²-2ax+a-1=0（x∈R）．
（1）证明不论a取任何实数值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）若两根x₁，x₂满足|x₁-x₂|=$\frac{2}{3}$，求a的值；
（3）若两根x₁，x₂满足x₁＜2且x₂＞2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的判别式△大于零恒成立，可得方程必有两个不相等的实数根．
（2）利用韦达定理求得x₁+x₂和 x₁•x₂的值，再根据|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，求得a的值．
（3）由题意可得f（2）=12-4a+a-1＜0，求得实数a的范围．

解答 解：（1）证明：∵关于x的方程3x²-2ax+a-1=0，∵它的判别式△=4a²-12（a-1）=4[${（a-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$]＞0恒成立，
故不论a取任何实数值，方程必有两个不相等的实数根．
（2）利用韦达定理可得x₁+x₂ =$\frac{2a}{3}$，x₁•x₂=$\frac{a-1}{3}$，∴|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{4a}^{2}}{9}-\frac{4（a-1）}{3}}$=$\frac{2}{3}$，
求得a=1，或 a=2．
（3）若两根x₁，x₂满足x₁＜2且x₂＞2，则f（2）=12-4a+a-1＜0，求得实数a＞$\frac{11}{3}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．