Question

11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，若x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），且f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（-$\frac{π}{6}$，0）可得φ的值，而可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），再由题意可得x₁+x₂=$\frac{π}{6}$，代入计算即可．

解答 解：根据题意，函数f（x）=Asin（ωx+φ）中，
A=1，周期T=2（$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$））=π，
∴ω=2，
又函数图象过点（-$\frac{π}{6}$，0），
即2×（-$\frac{π}{6}$）+φ=2kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴sin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{3}$）=1，即图中最高点的坐标为（$\frac{π}{12}$，1），
又x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），且f（x₁）=f（x₂），
∴x₁+x₂=$\frac{π}{12}$×2=$\frac{π}{6}$，
∴f（x₁+x₂）=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．