Question

1．已知$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow c}$|=1，且$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\sqrt{3}$$\overrightarrow c=0$，则$\overrightarrow a\overrightarrow b+\overrightarrow b\overrightarrow c+\overrightarrow c\overrightarrow a$=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由条件求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$ 且 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{c}$，代入要求的式子化简可得结果．

解答 解：已知$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow c}$|=1，且$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\sqrt{3}$$\overrightarrow c=0$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3${\overrightarrow{c}}^{2}$，即 2+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$．
又 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{c}$，∴$\overrightarrow a\overrightarrow b+\overrightarrow b\overrightarrow c+\overrightarrow c\overrightarrow a$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$•（-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{c}$）=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，属于基础题．