Question

15．已知正数a，b满足a+b=1
（1）求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$≥4；
（2）求：a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论；
（2）利用$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≥$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，求：a²+b²的最小值．

解答 （1）证明：∵正数a，b满足a+b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2=4，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时等号成立，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$≥4；
（2）解：∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≥$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴a²+b²≥$\frac{1}{2}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时等号成立．
∴a²+b²的最小值是$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查求a²+b²的最小值，正确运用基本不等式是关键．