Question

7．椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的焦点恰好是椭圆C的两个顶点
（1）求椭圆C的方程．
（2）若点P是第一象限内该椭圆上的一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，求点P的坐标；
（3）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两个点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求直线l斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．由双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，可得焦点（±2，0）．可得a=2，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）由（1）可得：F₁$（-\sqrt{3}，0）$，F₂$（\sqrt{3}，0）$．设P（x₀，y₀），（x₀，y₀＞0），由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，可得${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$-3=$-\frac{5}{4}$，又$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，联立解出即可得出．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：y=kx+2，与椭圆方程联立可得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，△＞0，解得：k²$＞\frac{3}{4}$．由∠AOB为锐角（其中O为原点），可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，且A，O，B三点不共线．利用数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，可得焦点（±2，0）．
∴a=2，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得：a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）由（1）可得：F₁$（-\sqrt{3}，0）$，F₂$（\sqrt{3}，0）$．
设P（x₀，y₀），（x₀，y₀＞0），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，∴${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$-3=$-\frac{5}{4}$，
又$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，联立解得：x₀=1，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴点P$（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：y=kx+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=256k²-48（1+4k²）＞0，解得：k²$＞\frac{3}{4}$．
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$．
∵∠AOB为锐角（其中O为原点），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，且A，O，B三点不共线．
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，可得：x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，
可得：（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，
∴（1+k²）×$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$-2k×$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$+4＞0，
化为：k²＜3，
又k²$＞\frac{3}{4}$，∴$-\sqrt{3}＜k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜k$＜\sqrt{3}$．
∵A，O，B三点不共线时，斜率不存在，
∴直线l斜率k的取值范围是：$（-\sqrt{3}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$∪$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．