Question

下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（　　）

• A、f（x）=x³
• B、f（x）=3^x
• C、f（x）=x 

  1

  2

• D、f（x）=（

  1

  2

  ）^x

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．

解答： 解：A．f（x）=x³，f（y）=y³，f（x+y）=（x+y）³，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；
B．f（x）=3^x，f（y）=3^y，f（x+y）=3^x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故B正确；
C．f（x）=x

1

2

，f（y）=y

1

2

，f（x+y）=(x+y)

1

2

，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故C错；
D．f（x）=(

1

2

)x，f（y）=(

1

2

)y，f（x+y）=(

1

2

)x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故D错．
故选B．

点评：本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．