Question

6．函数f（x）=ax+b，（a＞0），g（x）=f（x）（x+m），f[f（x）]=16x+5．
（1）求f（x）解析式；
（2）当x∈[1，3]时，g（x）有最大值为13，求m的值．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法，由恒等式知识，即可解得a=4，b=1，可得f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，解方程可得m的值．

解答 解：（1）函数f（x）=ax+b，（a＞0），
f[f（x）]=a（ax+b）+b=16x+5，
即有a²=16，ab+b=5，解得a=4，b=1，（a=-4，b=-$\frac{5}{3}$舍去），
则f（x）=4x+1；
（2）g（x）=（4x+1）（x+m）=4x²+（4m+1）x+m，
对称轴为x=-$\frac{4m+1}{8}$，
由抛物线开口向上，故最大值，只能为端点的函数值．
若-$\frac{4m+1}{8}$≥3，即为m≤-$\frac{25}{4}$时，区间[1，3]递减，
可得g（1）=13，解得m=$\frac{8}{5}$＞-$\frac{25}{4}$，不成立；
若-$\frac{4m+1}{8}$≤1，即为m≥-$\frac{9}{4}$时，区间[1，3]递增，
可得g（3）=13，解得m=-2＞-$\frac{9}{4}$，成立．
综上可得，m=-2．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．