Question

13．某超市一营业柜台销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向超市交a（1≤a≤3）元的管理费，预计当诶吉安商品的售价为x（8≤x≤9）元时，一年的销售量为（10-x）²万件．
（1）求该营业柜台一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；
（2）当每年商品的售价为多少元时，该营业柜台一年的利润L最大，并求出L的最大值M（a）．

Answer 1

分析 （1）根据条件即可建立该营业柜台一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；
（2）求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，进行求解即可．

解答 解：（1）由题意值该营业柜台一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式为：
L（x）=（x-4-a）（10-x）²，x∈[8，9]．
（2）L′（x）=（10-x）²-2（x-4-a）（10-x）=（10-x）（18+2a-3x），
由L′（x）=0得，x=10（舍），或x=6+$\frac{2}{3}a$，
∵1≤a≤3，∴$\frac{20}{3}$≤=6+$\frac{2}{3}a$≤8，
即L（x）在x∈[8，9]上为减函数．
故L（x）_max=L（8）=（8-4-a）（10-8）²=16-4a，
即M（a）=16-4a，
即当每年商品的售价为8元时，该营业柜台一年的利润L最大，最大值M（a）=16-4a．

点评 本题主要考查函数的应用问题，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．