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    如图，设P是圆O：x2+y2=a2上的任意一点，过点P与x轴垂直的直线与x轴交于点Q，点M满足a
    QM
    =b
    QP
    （a＞b＞c）．当点P在圆O上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
    （1）求曲线C的方程，并指出曲线C为何种圆锥曲线；
    （2）若S（m，n）为圆O上任意一点，求与直线mx+ny=1恒相切的定圆的方程；
    （3）若S（m，n）为曲线C上的任意一点，且A（1，
    3
    2
    ），B（2，0）在曲线C上，请直接写出与直线mx+ny=1恒相切的定曲线的方程（不必说明理由）．
    考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）设点M（x，y），P（x0，y0），则Q（x0，0），由a
    QM
    =b
    QP
    ，（a＞b＞0），得a（x-x0，y）=b（0，y0），又P（x0，y0）是圆上任意一点，从而x02+y02=a2，由此能求出曲线C的方程．
    （2）由对称性，设所求定圆方程为x2+y2=r2，r＞0，由圆心O到直线l的距离得r=
    1
    		m2+n2
    ，由此能求出与直线mx+ny=1恒相切的定圆的方程．
    （3）由已知条件能写出与直线mx+ny=1恒相切的定曲线的方程．
    解答： 解：（1）设点M（x，y），P（x0，y0），则Q（x0，0），
    由a
    QM
    =b
    QP
    ，（a＞b＞0），得a（x-x0，y）=b（0，y0），
    ∴
    x0=x
    y0=
    ay
    b
    ，
    又P（x0，y0）是圆上任意一点，
    ∴x02+y02=a2，
    ∴x2+（
    a
    b
    y    ）2=a2，整理，得：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ，（a＞b＞0），
    ∴曲线C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ，（a＞b＞0）．
    该曲线是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆．
    （2）由对称性，设所求定圆方程为x2+y2=r2，r＞0，
    依题意，得圆心O到直线l的距离d=
    1
    		m2+n2
    ，
    ∴r=
    1
    		m2+n2
    ，
    又∵S（m，n）是圆x2+y2=a2上任意一点，
    ∴m2+n2=a2，∴r=
    1
    a
    ，
    ∴与直线mx+ny=1恒相切的定圆的方程为x2+y2=
    1
    a2
    ．
    （3）4x2+3y2=1．
    点评：本题主要考查平面向量、直线与圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．
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    C
    2
    100
    +
    C
    97
    100
    ）÷
    A
    3
    101
    ；
    （2）
    ∫
    π
    -π
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    1
    2
    x-
    1
    4
    sinx-
    		3
    4
    cosx．
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    （2）已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f′（B）=
    3
    4
    且B为锐角，求sin（B+10°）[1-
    		3
    tan（B-10°）]的值．

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