Question

设函数．
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．

Answer 1

（1）的最大值为；（2）实数的取值范围为.

解析试题分析：（1）先将函数的导数求出来，并将不等式在上恒成立转化为二次函数在恒成立，利用列相应的不等式，求出实数的取值范围，进而确定的最大值；（2）先利用导数求出函数的极大值与极小值，由于方程有且只有一个实数根，利用或求出实数的取值范围.
试题解析：（1）,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值为
（2）因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
考点：1.二次不等式恒成立；2.函数的极值；3.函数的零点个数