已知定义域为R的函数是奇函数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)判断的单调性并证明;
(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
(Ⅰ);(Ⅱ)在R上为减函数,证明详见解析;(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ)思路一、由可求得a的值;
思路二、由于是R上的奇函数,所以,由此也可求得a的值.
(Ⅱ)思路一:根据函数单调性的定义证明;思路二:利用导数证明.
(Ⅲ)因是奇函数,从而不等式等价于
在R上为减函数,由上式得:解此不等式即可.
试题解析:(I)法一、函数的定义域为R,因为是奇函数,所以,
即,故.
法二、由是R上的奇函数,所以,故.
再由,
通过验证来确定的合理性 4分
(Ⅱ)由(1)知
由上式易知在R上为减函数.
证明:法一、由(1)知
设,则,
所以,所以在R上为减函数. 8分
法二、由(1)知
求导得:,所以在R上为减函数. 8分
(Ⅲ)又因是奇函数,从而不等式等价于
在R上为减函数,由上式得:
即对一切
从而 12分
考点:1、函数的单调性和奇偶性;2、不等关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)当时,在曲线上是否存在两点,使得曲线在两点处的切线均与直线交于同一点?若存在,求出交点纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若在区间存在最大值,试构造一个函数,使得同时满足以下三个条件:①定义域,且;②当时,;③在中使取得最大值时的值,从小到大组成等差数列.(只要写出函数即可)
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