已知定义域为R的函数
是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断
的单调性并证明；
（Ⅲ）若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
（Ⅰ）
；（Ⅱ）在R上为减函数,证明详见解析；（Ⅲ）
.
解析试题分析：（Ⅰ）思路一、由
可求得a的值；
思路二、由于是R上的奇函数，所以
，由此也可求得a的值.
（Ⅱ）思路一：根据函数单调性的定义证明；思路二：利用导数证明.
（Ⅲ）因是奇函数，从而不等式等价于
在R上为减函数，由上式得：
解此不等式即可.
试题解析：（I）法一、函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，
即
，故．
法二、由是R上的奇函数，所以，故
．
再由
，
通过验证来确定的合理性 4分
（Ⅱ）由（1）知
由上式易知在R上为减函数.
证明：法一、由（1）知
设
，则
，
所以
，所以在R上为减函数. 8分
法二、由（1）知
求导得：
，所以在R上为减函数. 8分
（Ⅲ）又因是奇函数，从而不等式等价于
在R上为减函数，由上式得：
即对一切
从而
12分
考点：1、函数的单调性和奇偶性；2、不等关系.
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
．
(Ⅰ）求函数
的单调递增区间；
(Ⅱ）当
时，在曲线
上是否存在两点
，使得曲线在
两点处的切线均与直线
交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；
(Ⅲ）若
在区间
存在最大值
，试构造一个函数
，使得同时满足以下三个条件：①定义域
，且
；②当
时，
；③在
中使取得最大值时的
值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数即可）
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，
且
。
的值；
在区间
上的单调性.
（
）．
的奇偶性；
时，求
对
恒成立，求实数
的取值范围．
为奇函数.
，试判断
的单调性（不需证明）；
，使
，求实数k的最大值．
．
，
恒成立，求
的最大值；
有且仅有一个实根，求
的取值范围．
是定义在
上的减函数，满足
.
；
，解不等式
.
是定义在
上的奇函数，且
，若
，
有
恒成立.
对所有
恒成立，求实数
的取值范围。
，试判断此函数
在
上的单调性，并求此函数