Question

16．已知定义域为R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-1|}，x≠1}\\{2，x=1}\end{array}\right.$，函数h（x）=f²（x）+bf（x）+c（其中b、c为常数）有5个不同的零点x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，下列命题不正确的是（　　）

• A． 4+2b+c=0
• B． b＜0，c＞0
• C． （x₁-1）（x₂-1）（x₃-1）（x₄-1）（x₅-1）=0
• D． x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10

Answer 1

分析 先根据一元二次方程根的情况可判断f（2）一定是一个解，再假设f（x）的一解为A可得到x₁+x₂=4，同理可得到x₃+x₄=4，进而可得到x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，即可得到最后答案．

解答 解：函数h（x）=f²（x）+bf（x）+c，对于f²（x）+bf（x）+c=0来说，f（x）最多只有2解，
又f（x）=$\frac{1}{|x-2|}$（x≠2），函数关于x=2对称，当x不等于2时，x最多四解．
而题目要求5解，即可推断f（2）为一解，
假设f（x）的另一个解为A，得f（x）=$\frac{1}{|x-2|}$=A；
根据函数y═$\frac{1}{|x-2|}$的对称性得出：x₁=2+A，x₂=2-A，x₁+x₂=4；
同理：x₃+x₄=4；
所以：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=4+4+2=10；
故选：D．

点评 本题主要考查一元二次方程根的情况和含有绝对值的函数的解法，考查基础知识的综合运用能力．