Question

6．已知偶函数f（x）在R上的任一取值都有导数，f′（1）=-2，f（x-2）=f（x+2），则曲线y=f（x）在x=4k-5（k∈Z）处的切线的斜率为-2．

Answer 1

分析 由函数的周期性和奇偶性可知：函数的周期为4，对称轴x=2，f（-5）=f（3）=f（1），根据导数的几何意义可知：函数在x=-5处的切线斜率k=f′（5）=f′（1）=-2，再利用函数的周期性可知：x=4k-5处的切线斜率也为-2．

解答 解：由f（x-2）=f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），
∴函数的周期为4，
∵函数为偶函数，
∴f（x+2）=f（x-2）=f（2-x），
∴函数的对称轴为x=2，
∴f（-5）=f（3）=f（1），
∴函数在x=-5处的切线斜率k=f′（5）=f′（1）=-2，
由函数的周期为4，
∴x=4k-5处的切线斜率也为-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查函数的周期性，奇偶性及对称性等几何性质，考查导数的几何意义，属于基础题．