Question

7．为了了解学生的数学复习情况，某校从第四次模拟考试成绩中抽取一个样本，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右小矩形面积之比为2：5：10：5：3，最左边一组的频数为4，请结合直方图解决下列问题．
（Ⅰ）求中位数；
（Ⅱ）列出频率分布表；
（Ⅲ）从样本中成绩在[120，140）内的学生中任取2个学生，若成绩在[120，130）内奖给1个小红旗；若成绩在[130，140）内奖给2个小红旗．设X表示2个学生所得红旗总数，求X的分布列和E（X）．

Answer 1

分析 （I）先分别求出从左至右各组的频率，由此能求出中位数．
（II）由最左边一组的频数为4，求出样本单元数n，从而求出从左至右各组频数，由此能求出频率分布表．
（III）由题意X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（I）由题意知从左至右各组的频率分别为$\frac{2}{25}$，$\frac{5}{25}$，$\frac{10}{25}$，$\frac{5}{25}$，$\frac{3}{25}$，即0.08，0.2，0.4，0.2，0.12，
∴中位数为：120+$\frac{0.5-0.2-0.08}{0.4}×10$=125.5．…（3分）
（II）∵最左边一组的频数为4，∴样本单元数n=$\frac{4}{0.08}$=50，
∴从左至右各组频数分别为：4，50×0.2，50×0.4，50×0.2，50×0.12，即4，10，20，10，6，
∴频率分布表为：

分   组	频   数	频    率
[100，110）	4	0.08
[110，120）	10	0.2
[120，130）	20	0.4
[130，140）	10	0.2
[140，150）	6	0.12
合   计	50	1

…（6分）
（III）由题意X的可能取值为2，3，4，
$P（X=2）=\frac{{C_{20}^2}}{{C_{30}^2}}=\frac{38}{87}$，
$P（X=3）=\frac{{C_{20}^1•C_{10}^1}}{{C_{30}^2}}=\frac{40}{87}$，
$P（X=4）=\frac{{C_{10}^2}}{{C_{30}^2}}=\frac{9}{87}$，
X的分布列为：

X	2	3	4
p	$\frac{38}{87}$	$\frac{40}{87}$	$\frac{9}{87}$

…（10分）
$EX=2×\frac{38}{87}+3×\frac{40}{87}+4×\frac{9}{87}=\frac{232}{87}$．…（12分）

点评 本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组知识和频率分布直方图的合理运用．