Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的极坐标方程；

（2）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线，若与的交点为（异于坐标原点），与的交点为，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）先利用消参法求得曲线的普通方程，再将，代入即可求得的极坐标方程；

（2）先根据变换求得曲线的普通方程，再转化为极坐标方程. 将的极坐标方程代入与中求得，两点的极径，从而求得.

（1）曲线的参数方程为（为参数），

则曲线的普通方程为，

将，代入，

化简得的极坐标方程为.

（2）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线，

则曲线的普通方程为，

将，代入，

化简得的极坐标方程为.

将的极坐标方程分别代入的极坐标方程和的极坐标方程中，可得，两点的极径分别为，，

所以.