Question

【题目】已知椭圆E的方程为（），，分别为椭圆的左右焦点，A，B为椭圆E上关于原点对称两点，点M为椭圆E上异于A，B一点，直线和直线的斜率和满足：.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过作直线l交椭圆于C，D两点，且（），求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设，，则，代入椭圆的方程相减得到，再结合，求得，即可得到椭圆方程；

（2）设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，以及点到直线的距离公式、弦长公式和三角形的面积公式，求得的面积的表达式，利用基本不等式，即可求解.

（1）由题意，设，，则，

由于，，两式相减可得，

又由，解得，

所以椭圆方程为.

（2）设直线的方程为，

联立，消去x得，，

设，，则，

所以，

因为，所以，所以O到直线的距离即为点A到直线的距离，

点O到直线的距离，

所以的面积，

令（），

则（当且仅当时取等号）

所以的面积取值范围为.