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已知是椭圆E:的两个焦点,抛物线的焦点为椭圆E的一个焦点,直线y=上到焦点F1,F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上,

(1)求椭圆E的方程;
(2)如图,过点的动直线交椭圆于A、B两点,是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)(2)AB为直径的圆恒过这个定点(0,1).

解析试题分析:(1)求出抛物线的焦点得到椭圆的两个焦点(即C值),求其中一个焦点关于直线的对称点,再利用点点之间直线距离最短求出直线y=上到焦点F1,F2距离之和最小的点P的坐标(即为对称点与另一个焦点连线与直线y=的交点),即得椭圆上一点的坐标,便可求出a,b,c得到椭圆的标准方程.
(2)直线的斜率为k,通过联立方程式,韦达定理等用斜率k来建立圆的方程,进而判断关于参数k的圆是否经过定点(即是否有相应点的坐标使得参数k的系数为0即可)
试题解析:
(1)由抛物线的焦点可得:,点关于直线的对称点为
,因此,椭圆方程为
(2)假设存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点。
当AB轴时,以AB为直径的圆的方程为:  ①
当AB轴时,以AB为直径的圆的方程为: ②
由①②知定点M。下证:以AB为直径的圆恒过定点M。设直线,代入,有。设,则


在y轴上存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个定点.
考点:椭圆 定点问题

练习册系列答案
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(1)求椭圆C的方程;
(2)设G、H为椭圆C上的两个动点,O为坐标原点,且OG⊥OH.
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②是否存在以原点O为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线GH相切?若存在,请求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.

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(2)若Rt△MAB面积的最大值为,求a;
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(1)求椭圆C的标准方程。
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