Question

19．若${（x+2）^2}+\frac{y^2}{4}=1$，则x²+y²的取值范围是[1，$\frac{28}{3}$]．

Answer 1

分析 利用换元法，${（x+2）^2}+\frac{y^2}{4}=1$，可设x=cosθ-2，y=2sinθ，那么x²+y²=（cosθ-2）²+4sin²θ，利用三角函数的有界限求解即可．

解答 解：由题意：，${（x+2）^2}+\frac{y^2}{4}=1$，
设x=cosθ-2，y=2sinθ，
那么：x²+y²=（cosθ-2）²+4sin²θ=cos²θ-4cosθ+4+4sin²θ=cos²θ-4cosθ+8-4cos²θ=$-3（cosθ+\frac{2}{3}）^{2}+\frac{4}{3}+8$，
当$cosθ=-\frac{2}{3}$时，x²+y²取值最大值为$\frac{28}{3}$．
当cosθ=1时，x²+y²取值最小值为1．
则x²+y²的取值范围是[1，$\frac{28}{3}$]
故答案为：[1，$\frac{28}{3}$]

点评 本题主要考查了最值的求法，利用了三角函数的有界限的性质，换元的思想，属于中档题．