Question

【题目】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．若，．

（）求向量，夹角的正切值．

（）问点在什么位置时，向量，夹角最大？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】分析：（）设向量与轴的正半轴所成的角分别为， 则向量所成的夹角为，由两角差的正切公式可得向量夹角的正切值为；（）由 （1）知 ，利用基本不等式即可的结果.

详解：（1）由题意知，A的坐标为A（0，6），B的坐标为B（0，4），C（x，0），x＞0

设向量，与x轴的正半轴所成的角分别为α，β，

则向量，所成的夹角为|β﹣α|=|α﹣β|，

由三角函数的定义知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，

得向量，的夹角的正切值等于tan（α﹣β）==，

故所求向量，夹角的正切值为tan（α﹣β）=；

（2）由 （1）知tan（α﹣β）==≤=，

所以tan（α﹣β）的最大值为时，夹角|α﹣β|的值也最大，

当x=时，取得最大值成立，解得x=2，

故点C在x的正半轴，距离原点为2，

即点C的坐标为C（2，0）时，向量，夹角最大．