Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点为，，长轴端点为，，为椭圆中心，，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，这两点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若抛物线上存在两个点，，椭圆上存在两个点，，满足，，三点共线，，，三点共线，且，求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由，可得，由于斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，这两点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，可知直线过原点，表示出直线方程，可得直线与椭圆的一个交点坐标，代入椭圆中，可得到，的值，由此得到椭圆的方程。

（2）分类讨论直线斜率存在与不存在的情况，当斜率不存在时，根据题意可得，，即可得到四边形的面积，当斜率存在时，设出直线的点斜式方程以及直线的方程，将直线的方程与抛物线联立方程，得到关于的一元二次方程，由弦长公式表示出，再联立直线与椭圆的方程，得出的长，最后表示出四边形面积关于斜率的表达式，利用基本不等式即可求出四边形面积最小值。

解：（1）设椭圆方程为，

利用数量积运算可得，可得，

直线的方程为，当时，，

代入椭圆方程可得，

联立解得，，椭圆方程.

（2）①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，得到，，；

②当直线的斜率存在时，设直线方程为，

与抛物线联立得。

令，，则，，

，

因为，所以直线的方程为，

将直线与椭圆联立，得，

令，，则，，

所以，

所以四边形面积，

令，

则，

所以，其最小值为.