Question

10．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足a（1-cosB）=bcosA，c=3，S_△ABC=2$\sqrt{2}$，则b=4$\sqrt{2}$或2．

Answer 1

分析 由正弦定理、两角和的正弦公式等化简所求的式子，由正弦定理和条件求出a的值，利用三角形的面积公式求出sinB，由平方关系求出cosB，由余弦定理求出b的值．

解答 解：由正弦定理得，sinA（1-cosB）=sinBcosA，
∴sinA=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B），
∵A+B=π-C，∴sinA=sinC，即a=c=3，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=2$\sqrt{2}$，∴$\frac{1}{2}×3×3×sinB=2\sqrt{2}$，
解得sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cosB=$±\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$±\frac{7}{9}$，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
当cosB=$\frac{7}{9}$时，b²=9+9-2×$9×\frac{7}{9}$=4，解得b=2，
当cosB=-$\frac{7}{9}$时，b²=9+9+2×$9×\frac{7}{9}$=32，解得b=4$\sqrt{2}$，
∴b=4$\sqrt{2}$或2，
故答案为：4$\sqrt{2}$或2．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，两角和的正弦公式等的综合应用，以及分类讨论思想，考查化简、计算能力，属于中档题．