Question

定义在R上的奇函数满足f（x+1）=-f（1-x），当x∈（0，1）时，f（x）=log 

1

2

（1-x），则f（x）在（1，2）上（　　）

• A、是减函数，且f（x）＞0
• B、是增函数，且f（x）＜0
• C、是减函数，且f（x）＜0
• D、是增函数，且f（x）＞0

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性，奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解；∵定义在R上的奇函数满足f（x+1）=-f（1-x），
∴f（x+1）=-f（1-x）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
即函数的周期是2．
则f（x）在（1，2）上图象和在（-1，0）上的图象相同，
∵当x∈（0，1）时，f（x）=log 

1

2

（1-x），
∴此时f（x）单调递增，且f（x）＞0，
∵f（x）是奇函数，
∴当x∈（-1，0）时，f（x）单调递增，且f（x）＜0，
即当x∈（1，2）时，f（x）单调递增，且f（x）＜0，
故选：B．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用．