Question

13．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点，AE交A₁D于点H．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角D-BA₁-A的余弦值；
（Ⅲ）求A₁B₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴正半轴，DB为z轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求解．

解答 解：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴正半轴，DB为z轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，
则$\overrightarrow{AE}$=（-2，-1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BD}=（0，0，-\sqrt{3}）$，
∵$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=2-2=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=$0+0+0（{-\sqrt{3}}）=0$，∴$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{{A_1}D}$，$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{BD}$，
即AE⊥A₁D，AE⊥BD，∴AE⊥面A₁BD

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AE}$=（-2，-1，0）即为面A₁BD的一个法向量．
设面AA₁B的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{{A_1}B}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{{A_1}A}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-{x_2}+2{y_2}+\sqrt{3}{z_2}=0\\ 2{y_2}=0\end{array}\right.$
取$\overrightarrow{n_2}=（{3，0，\sqrt{3}}）$，$cos\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞=\frac{6}{{\sqrt{5}•\sqrt{12}}}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
由图可知二面角D-BA₁-A为锐二面角，∴它的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
（Ⅲ）B₁B=（0，2，0），平面A₁BD的法向量取$\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AE}$=（-2，-1，0）
则B₁到平面A₁BD的距离$d=\frac{{|{\overrightarrow{{B_1}B}•\overrightarrow{n_1}}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
设A₁B₁与平面A₁BD所成的角为θ，则$sinθ=\frac{d}{{{A_1}{B_1}}}$=$\frac{{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}}{2}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

点评 本题考查了空间向量的应用，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．