Question

4．设函数$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$．
（1）若k∈R，求f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，讨论f（x）当$x∈（1，\sqrt{e}）$时的零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）利用参数分离法先求出k的取值范围，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，从而判断函数的零点个数．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
故f′（x）=x-$\frac{k}{x}$=$\frac{{x}^{2}-k}{x}$，
k≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，
k＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞lnk，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜lnk，
故f（x）在（0，lnk）递减，在（lnk，+∞）递增，
0＜k≤1时，lnk≤0，f（x）在（0，+∞）递增，
综上，k≤1时，f（x）在（0，+∞）递增，
k＞1时，f（x）在（0，lnk）递减，在（lnk，+∞）递增；
（2）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx=0得k=$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，函数的定义域为（0，+∞），
设h（x）=$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，则h′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{{2（lnx）}^{2}}$，
由h′（x）=0得x=$\sqrt{e}$，
则当x＞$\sqrt{e}$时，h′（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜1或1＜x＜$\sqrt{e}$时，h′（x）＜0，函数单调递减，
∴当x=$\sqrt{e}$时，函数取得极小值h（$\sqrt{e}$）=$\frac{{（\sqrt{e}）}^{2}}{2ln\sqrt{e}}$=e，
∵f（x）存在零点，∴k＞e，
f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，则是f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，在（1，$\sqrt{e}$]上为增函数，
则f′（x）＜f′（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$-$\frac{k}{\sqrt{e}}$＜$\sqrt{e}$-$\frac{e}{\sqrt{e}}$=0，
即函数f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上为减函数，
f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$-kln$\sqrt{e}$=$\frac{e}{2}$-$\frac{k}{2}$=$\frac{e-k}{2}$＜0，
即函数f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上只有1个零点．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数单调性和导数的关系，利用参数分离法结合构造法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．