Question

1．设函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，a∈R．
（1）若a=1，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若a＜0，求f（x）的单调区间．
（3）若a=-1，函数f（x）的图象与函数g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到；
（2）求导f′（x）=（ax²+x-1）e^x+（2ax+1）e^x=x（ax+2a+1）e^x，讨论a的取值范围，从而确定导数的正负，以确定函数的单调区间；
（3）令h（x）=f（x）-g（x），求出导数，求出单调区间，和极值，函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，即有h（-1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．

解答 解：（1）函数f（x）=（x²+x-1）e^x，的导数为
f′（x）=e^x（x²+3x），
则曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=0，
切点为（0，-1），
即有曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-1；
（2）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=[ax²+（2a+1）x]e^x，
①若-$\frac{1}{2}$＜a＜0，当x＜0或x＞-$\frac{2a+1}{a}$时，f′（x）＜0；
当0＜x＜-$\frac{2a+1}{a}$时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调递减区间为（-∞，0），（-$\frac{2a+1}{a}$，+∞）；
单调递增区间为（0，-$\frac{2a+1}{a}$）．
②若a=-$\frac{1}{2}$，f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²•e^x≤0，
所以f（x）的单调递减区间为（-∞，+∞）．
③若a＜-$\frac{1}{2}$，当x＜-$\frac{2a+1}{a}$或x＞0时，f′（x）＜0；
当-$\frac{2a+1}{a}$＜x＜0时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调递减区间为，（-∞，-$\frac{2a+1}{a}$），（0，+∞）；
单调递增区间为（-$\frac{2a+1}{a}$，0）．
（3）令h（x）=f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m）
则h′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-（x²+x）
=-（e^x+1）（x²+x）
令h′（x）＞0得-1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜-1．
∴h（x）在x=-1处取得极小值h（-1）=-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$-m，
在x=0处取得极大值h（0）=-1-m，
∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，
即函数h（x）有3个不同的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＜0}\\{h（0）＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}-m＜0}\\{-1-m＞0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$＜m＜-1．
则实数m的取值范围是（-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$，-1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运用导数求极值，考虑极值的正负来判断函数的零点，属于中档题．