Question

【题目】已知数列中，函数．

（1）若正项数列满足，试求出， ， ，由此归纳出通项，并加以证明；

（2）若正项数列满足（n∈N*），数列的前项和为Tn，且，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】试题（1）由递推公式依次可求得，用数学归纳法的要求证明即可；也可把递推公式变形为，则数列是等比数列；（2）要与（1）进行联系，首选函数，因此在上是增函数，可妨（1）进行归纳， ， ， ，…，也可把变形为，由累乘法得： ，从而得，即，最终有

，这样可用裂项相消法求出（放缩后），证得结论．

试题解析：（1）依题意，， ，

，由此归纳得出： ；

证明如下：

∵，∴，∴，

∴数列是以1为首项、为公比的等比数列，

∴，∴；

（2）∵（n∈N*），∴，∴，

累乘得： ，∴，即，∴，

∵，

∴ ．