Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l₁的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
∵e==，且经过点M，
∴，
解得c²=1，a²=4，b²=3，
故椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k₁（x-2）+1，件，
由题意可设直线l的方程为y=k₁（x-2）+1，
由，
得（3+4k₁²）x²-8k₁（2k₁-1）x+16k₁²-16k₁-8=0．
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k₁（2k₁-1）]²-4•（3+4k₁²）•（16k₁²-16k₁-8）＞0．
整理得32（6k₁+3）＞0．
解得k₁＞-，
又，
因为，即，
所以=．
即．
所以，解得．
因为A，B为不同的两点，所以．
于是存在直线l₁满足条件，其方程为．…（12分）
分析：（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a²=b²+c²可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．
（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k₁（x-2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定k₁的值，从而得解．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，要着重复习．