Question

4．平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，且|$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}}$|=2，沿BD将四边形折起成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 16π
• C． 2π
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，将四边形折起成直二面角A一BD-C，可得平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC，进而根据2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，求出三棱锥A-BCD的外接球的半径，可得三棱锥A-BCD的外接球的表面积．

解答 解：∵平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，且|$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}}$|=2，
∴平方得2|$\overrightarrow{AB}$|²+2$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}}$+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，
即2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，∴AB⊥BD，
沿BD折成直二面角A-BD-C，
∵将四边形折起成直二面角A一BD-C，
∴平面ABD⊥平面BDC
∴三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC，
∴AC²=AB²+BD²+CD²=2AB²+BD²，
∵2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，
∴AC²=4
∴外接球的半径为1，
故表面积是4π．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，平面向量数量积的运算，其中根据已知求出三棱锥A-BCD的外接球的半径是解答的关键．