Question

已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．

若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 009]上的所有x的个数．

Answer 1

解　当0≤x≤1时，f(x)＝x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，

∴f(－x)＝(－x)＝－x.

∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.

故f(x)＝x (－1≤x≤1)．

又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝(x－2)．

又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f((－x)＋2)＝－[－f(－x)]＝－f(x)，

∴－f(x)＝(x－2)，

∴f(x)＝－(x－2) (1<x<3)．

由f(x)＝－，解得x＝－1.

又∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，

∴f(x)是以4为周期的周期函数．

∴f(x)＝－的所有x＝4n－1 (n∈Z)．

令0≤4n－1≤2 009，则≤n≤，

又∵n∈Z，∴1≤n≤502 (n∈Z)，

∴在[0,2 009]上共有502个x使f(x)＝－.