Question

已知函数f（x）=e^x-2x（x∈R）
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x²＜e^x；
（3）证明：对任意给定的正数，总存在x₀，使得当x（x₀，+∞）恒有x²＜ce^x．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数等于0，求出函数的极值；
（2）构造函数g（x）=e^x-x²，求出导数，利用（1）的结论得到导函数的符号，
判断g（x）的单调性，从而得出结论；
（3）令x₀=

1

c

，利用（2）的结论，得e^x＞x²＞

1

c

x，即证结论成立．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=e^x-2x（x∈R），
∴f′（x）=e^x-2；
令f′（x）=0，即e^x-2=0，
解得x=ln2，
∴函数f（x）的极值是
f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-2ln2；
（2）证明：设函数g（x）=e^x-x²，
∴g′（x）=e^x-2x；
由（1）知f（x）=e^x-2x在x=ln2取得极小值，
∴g′（x）≥f（ln2）=e^ln2-ln2=2-ln2＞0，
∴g（x）是R上的增函数，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=1＞0，
∴e^x＞x²，即x²＜e^x；
（3）对任意给定的正数c，总存在x₀=

1

c

＞0．
当x∈（x₀，+∞）时，由（2）得e^x＞x²＞

1

c

x，即x²＜ce^x．
∴对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞）时，恒有x＜ce^x．

点评：本题考查了导数的应用问题，也考查运算求解能力以及逻辑推理能力，考查了函数与方程思想的应用问题，是难题目．