Question

【题目】已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2 ， 若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[﹣2﹣2 ,﹣2]
【解析】解：如x＜0，则﹣x＞0，

∵当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，

∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣4x+x2，

∵函数f（x）是奇函数，

∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣4x+x2=﹣f（x），

则f（x）=4x+x2，x＜0，

则函数f（x）= ，

则当x＞0，f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，

当x＜0，f（x）=4x+x2=（x+2）2﹣4≥﹣4，

当x＜0时，由4x+x2=4，即x2+4x﹣4=0得x= =﹣2﹣2 ，（正值舍掉），

若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，

则﹣2﹣2 ≤t≤﹣2，

即实数t的取值范围是[﹣2﹣2 ，﹣2]，

所以答案是：[﹣2﹣2 ，﹣2]

【考点精析】关于本题考查的函数奇偶性的性质，需要了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．