已知函数(,),.
(1)求函数的单调区间,并确定其零点个数;
(2)若在其定义域内单调递增,求的取值范围;
(3)证明不等式 ().
(1)当时,为的减区间,为的增区间,有且只有一个零点;当时,为的增区间,为的减区间,有且只有一个零点.
(2);(3)祥见解析.
解析试题分析:(1)首先求出已知函数的导数,然后由导数为正(为负)求得函数的增(减)区间,结合函数的单调区间就可求得函数的零点的个数;注意分类讨论;(2)由在其定义域内单调递增,可知,恒成立,从而就可利用二次函数的图象来求得字母的取值范围;或者分离参数将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题来加以解决;(3)观察所证不等式左右两边,联想已知的函数,由(2)可知 当时,在内单调递增,而,所以当时,,即 令 , 则 即:,然后再令n=1,2,3,…,n得到n个式子,将这n个式子相加就可得到所证不等式.
试题解析:(1) 1分
则
…2分
(i)若,则当时,;当时,
所以 为的增区间,为的减区间. 3分
极大值为
所以只有一个零点.
(ii)若,则当时,;当时,
所以 为的减区间,为的增区间.
极小值为 4分
所以只有一个零点.
综上所述,
当时,为的减区间,为的增区间,有且只有一个零点;
当时,为的增区间,为的减区间,
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某小区想利用一矩形空地建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中,,且中,,经测量得到.为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点作一直线交于,从而得到五边形的市民健身广场,设.
(1)将五边形的面积表示为的函数;
(2)当为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)=,g(x)=f(x)-ax,x∈[1,3],其中a∈R,记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a).
(1)求函数h(a)的解析式;
(2)画出函数y=h(x)的图象并指出h(x)的最小值.
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