Question

设函数f（x）=x+

p

x

（p＞0）．
（1）若P=4，判断f（x）在区间（0，2）的单调性，并加以证明；
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，求实数P的取值范围；
（3）若p=8，方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由p=4知，f（x）=x+

4

x

，f（x）在（0 2）内是减函数．
证明：任意设 0＜x₁＜x₂＜2，
由于f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）=-（x₂-x₁）+

4(x2-x1)

x1•x2

=（x₂-x₁）（

4

x1•x2

-1）=（x₂-x₁）•

4-x1•x2

x1•x2

．
由题设可得 （x₂-x₁）＞0，0＜x₁•x₂＜4，∴

4-x1•x2

x1•x2

＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0 2）内是减函数．
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，任意设 0＜x₁＜x₂＜2，
则可得f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）•

p-x1•x2

x1•x2

＞0．
由题设可得 （x₂-x₁）＞0，0＜x₁•x₂＜4，∴p≥4．
（3）由p=8，可得f（x）=x+

8

x

，
由（2）可知f（x）在（0，2）上单调递减，∴f（x）＞f（2）=2+

8

2

=6，即 f（x）＞6．
故由方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，可得3a-264＞6，解得a＞90，故a的范围为（90，+∞）．