Question

14．已知函数f（x）=1-cos²（x-$\frac{5π}{12}$），g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），由x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，得出x₀的值，计算g（x₀）即可；
（2）求出函数h（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质求出它的单调递增区间．

解答 解：函数f（x）=1-cos²（x-$\frac{5π}{12}$）
=sin²（x-$\frac{5π}{12}$）
=$\frac{1-cos（2x-\frac{5π}{6}）}{2}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x；
（1）∵x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴x₀=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（kπ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$或$\frac{5}{4}$；
（2）函数h（x）=f（x）+g（x）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．