Question

【题目】已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．
（1）求 ；
（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为 ，求直线AB的斜率k．

Answer 1

【答案】
（1）解：设直线AB方程为 ，

联立直线AB与抛物线方程

，得x2﹣2pkx﹣p2=0，

则x1+x2=2pk，x1x2=﹣p2，

可得 =x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+ ）（kx2+ ）

=（1+k2）x1x2+ + （x1+x2）

=（1+k2）（﹣p2）+ + 2pk=﹣ p2

（2）解：由x2=2py，知 ，

可得曲线在A，B两点处的切线的斜率分别为 ，

即有AM的方程为 ，BM的方程为 ，

解得交点 ，

则 ，知直线MF与AB相互垂直．

由弦长公式知，|AB|=

= =2p（1+k2），

用 代k得， ，

四边形ACBD的面积 ，

依题意，得 的最小值为 ，

根据 的图象和性质得，k2=3或 ，

即 或 ．

【解析】（1）设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和点满足直线方程，由向量的数量积的坐标表示，化简即可得到所求值；（2）求得切线的斜率和切线的方程，运用弦长公式，可得|AB|，|CD|，求得四边形ABCD的面积，运用对勾函数的性质，解方程可得k的值．