Question

【题目】已知函数f（x）=x2lnx﹣a（x2﹣1），a∈R，若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，﹣1]
B.（﹣∞，0]
C.（﹣∞，1]
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由已知，即x≥1时，f（x）min＞0，
f′（x）=x（2lnx+1﹣2a），x≥1，
当1﹣2a≥0，即a≤ 时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）单调增，
∴f（x）min=f（1）=0，即a≤ 时满足f（x）≥0恒成立；
当1﹣2a＜0，即a＞ 时，由f′（x）=0，得x= ＞1，
∴x∈（1， ）时，f（x）单调减，即x∈（1， ）时，
∴f（x）＜f（1）=0与题设矛盾，
即a＞ 时，不能满足f（x）≥0恒成立，
综上，所求a的取值范围是a≤ ；
故选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．