Question

9．如图：已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过右焦点F（1，0）的直线l与椭圆E交于M、N两点，且满足$\overrightarrow{MF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FN}$．
（1）当直线l的倾斜角为45°时，求椭圆E的方程；
（2）求△OMN面积的最大值及此时椭圆E的离心率e．

Answer 1

分析 （1）由题意写出直线l的方程，然后利用根与系数的关系，得到M，N的横坐标的和与积，结合$\overrightarrow{MF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FN}$列式求得a，b的值得答案；
（2）由题意设直线l的方程x=ty+1，和椭圆方程联立化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M，N的纵坐标的和与积，代入三角形面积公式，利用配方法求得最值，并得到$\frac{1}{{b}^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，然后结合$\overrightarrow{MF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FN}$求得a，则椭圆离心率可求．

解答 解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，直线方程为y=x-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，①
$\overrightarrow{MF}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}），\overrightarrow{FN}=（{x}_{2}-1，{y}_{2}）$，
由$\overrightarrow{MF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FN}$，得（2-2x₁，-2y₁）=（x₂-1，y₂），
即2x₁+x₂=3，②
联立①②得：a⁴+a²b²-a²-9b²=0，
结合a²=b²+1，解得${a}^{2}=\frac{9}{2}，{b}^{2}=\frac{7}{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{2{x}^{2}}{9}+\frac{2{y}^{2}}{7}=1$；
（2）设直线l的方程为x=ty+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b²t²+a²）y²+2b²ty+b²-a²b²=0．
则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2{b}^{2}t}{{b}^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{b}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}$，③
∴${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{（-\frac{2{b}^{2}t}{{b}^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}）^{2}-4\frac{{b}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}}$=$ab•\sqrt{-\frac{1}{（{b}^{2}{t}^{2}+{a}^{2}）^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}}$．
当$\frac{1}{{b}^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}=\frac{1}{2}$时，$（{S}_{△OMN}）_{max}=\frac{ab}{2}$．
由（1）得，y₂=-2y₁，④
联立③④得9b²•b²t²+a²b²-a²b²•b²t²-a⁴b²=0，
即9b²（2-a²）+a²b²-a²b²（2-a²）-a⁴b²=0，
∴${a}^{2}=\frac{9}{5}$，则$a=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，关键是把直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，以及向量坐标的运算求解，考查运算能力，属于中档题．