Question

17．如图，几何体P-ABCD是四棱锥，三角形ACD是正三角形，AB=BC，∠ABC=120°，M为线段PD的中点，求证：CM∥平面PAB．

Answer 1

分析 取AD中点N，连接MN，CN，由三角形的中位线定理可得MN∥PA，进一步得到MN∥平面PAB，再由已知证明CN∥AB，得到CN∥平面PAB，与面面平行的判定可得平面CMN∥平面PAB，进一步得到CM∥平面PAB．

解答 证明：如图，
取AD中点N，连接MN，CN，
又M为PD的中点，∴MN∥PA，
PA?平面PAB，MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB，
∵三角形ACD是正三角形，∴CN⊥AD，且∠CAD=60°，
又AB=BC，∠ABC=120°，∴∠CAB=30°，则∠BAD=90°，
∴BA⊥AD，则CN∥AB，
∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB，
又MN∩CN=N，∴平面CMN∥平面PAB，则CM∥平面PAB．

点评 本题考查面面平行的判定和性质，考查数学转化思想方法，是中档题．