Question

4．在数列{a_n}中，首项不为零，且a_n=$\sqrt{3}$a_n-1（n∈N^*，n≥2），S_n为{a_n}的前n项和，令T_n=$\frac{10{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$，n∈N^*，则T_n的最大值为2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}中，首项不为零，且a_n=$\sqrt{3}$a_n-1（n∈N^*，n≥2），数列{a_n}为等比数列，首项为a₁，公比为$\sqrt{3}$．利用等比数列的通项公式与求和公式可得a_n+1，S_n，S_2n，代入T_n化简利用数列的单调性即可得出．

解答 解：数列{a_n}中，首项不为零，且a_n=$\sqrt{3}$a_n-1（n∈N^*，n≥2），
∴数列{a_n}为等比数列，首项为a₁，公比为$\sqrt{3}$．
∴${a}_{n}={a}_{1}（\sqrt{3}）^{n-1}$，${a}_{n+1}={a}_{1}（\sqrt{3}）^{n}$．
S_n=$\frac{{a}_{1}[（\sqrt{3}）^{n}-1]}{\sqrt{3}-1}$，S_2n=$\frac{{a}_{1}[（\sqrt{3}）^{2n}-1]}{\sqrt{3}-1}$，
T_n=$\frac{10{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{10{a}_{1}[（\sqrt{3}）^{n}-1]}{\sqrt{3}-1}-\frac{{a}_{1}[（\sqrt{3}）^{2n}-1]}{\sqrt{3}-1}}{{a}_{1}（\sqrt{3}）^{n}}$=$\frac{-（\sqrt{3}）^{2n}+10（\sqrt{3}）^{n}-9}{（\sqrt{3}）^{n}（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{10-[（\sqrt{3}）^{n}+\frac{9}{（\sqrt{3}）^{n}}]}{\sqrt{3}-1}$≤$\frac{10-2\sqrt{9}}{\sqrt{3}-1}$=2（$\sqrt{3}+1$），当且仅当n=2时取等号．
∴T_n的最大值为2+2$\sqrt{3}$．
故答案为：2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．