Question

已知（1+x+x²+x³）（x+

1

x4

）ⁿ的展开式中没有常数项，则n的一个可能值为（　　）

• A、11
• B、12
• C、13
• D、14

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由题意可得可得（x+x^-4）ⁿ的展开式中没有常数项，且没有x^-1项，且没有x^-2项，且没有x^-3项．根据（x+x^-4）ⁿ的展开式的通项公式可得x的幂指数为n-5r，故n-5r=0无解，且n-5r=-1无解，且n-5r=-2无解，且n-5r=-3无解结合所给的选项，从而得出结论．

解答： 解：若（1+x+x²+x³）（x+

1

x4

）ⁿ的展开式中没有常数项，可得（x+x^-3）ⁿ的展开式中没有常数项，
且没有x^-1项，且没有x^-2项，且没有x^-3项．
而（x+x^-4）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r n

•x^n-5r，
故n-5r=0无解，且n-5r=-1无解，且n-5r=-2无解，且n-5r=-3无解，
结合所给的选项可得，n=11，
故选：A．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现了转化的数学思想，属于基础题．