Question

5．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$（其中x＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[2，4]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设x₁＞x₂≥2，可得：x₁x₂＞4，由于f（x₁）-f（x₂）＞0，即可证明f（x）在[2，+∞）为单调增函数．同理可证f（x）在（0，2]上是减函数，
（Ⅱ）函数f（x）在区间[2，4]上为增函数，计算f（2），f（4）的值即可得解值域．

解答 证明：（Ⅰ）设x₁＞x₂≥2，所以x₁x₂＞4，
则：$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{4}{x_1}-{x_2}-\frac{4}{x_2}$=${x_1}-{x_2}+\frac{4}{x_1}-\frac{4}{x_2}={x_1}-{x_2}-\frac{{4（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$
所以f（x）在[2，+∞）为单调增函数．
同理f（x）在（0，2]上是减函数，
（Ⅱ）因为：函数f（x）在区间[2，4]上为增函数，
f（2）=2+2=4，f（4）=4+1=5，
所以：值域为[4，5]．

点评 本题的考点是函数单调性的判断与证明及函数的值域的求法，本题采取了定义法证明，考查了转化思想，属于基础题．