Question

【题目】已知 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．
（2）求（1﹣x）3+（1﹣x）4+…+（1﹣x）n展开式中x2项的系数．

Answer 1

【答案】
（1）解：Cn0+Cn2+…=2n﹣1=512=29

∴n﹣1=9，n=10

= （r=0，1，10）

∵5﹣ Z，∴r=0，6

有理项为T1=C100x5，T7=C106x4=210x4

（2）解：∵Cnr+Cnr﹣1=Cn+1r，

∴x2项的系数为C32+C42+…+C102=（C43﹣C33）+…+（C113﹣C103）

=C113﹣C33=164

【解析】（1）根据二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，写出所有系数的和的表示形式，得到n=10，写出通项式，使得通项式中x的指数等于整数，求出所有的项．（2）根据二项式系数的性质，变形整理把一项移项，写出展开式中x2项的系数，把系数写成两项的差，依次相加得到结果．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二项式定理的通项公式的相关知识，掌握二项式通项公式:．