Question

【题目】设函数，是定义域为R上的奇函数．

（1）求的值；

（2）已知，函数，，求的值域；

（3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：

试题解析：（1）先利用 为上的奇函数得 求出以及函数的表达式，（2）先由 得，得出函数的单调性，再对 进行整理，整理为用表示的函数，最后利用函数的单调性以及值域，得到的值域．

（3）利用换元法，将不等式转化为对勾函数问题求解，注意分类讨论思想的应用．

试题解析：（1）是定义域为R上的奇函数， ，得．

（2），即，或（舍去），

令，由（1）知在[1，2]上为增函数，∴，

，

当时，有最大值；当时，有最小值，

∴的值域．

（3）=，，

假设存在满足条件的正整数，则，

①当时，．

②当时，，则，令，则，易证在上是增函数，∴．

③当时，，则，令，则，易证在上是减函数，∴．

综上所述，，∵是正整数，∴=3或4．

∴存在正整数=3或4，使得对恒成立．