Question

【题目】设集合M是R的子集，如果点x0∈R满足：a＞0，x∈M，0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合M的聚点．则下列集合中以1为聚点的有（ ） ① ；
② ；
③Z；
④{y|y=2x}．
A.①④
B.②③
C.①②
D.①②④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：① 中的元素构成以1为极限的数列，故对a＞0，x∈{ }， 使0＜|x﹣1|＜a成立，故此集合以1为聚点．②集合{ }，其中的元素构成以0为极限的数列，故对a=0.01，不存在x∈{ }，
使0＜|x﹣1|＜0.01成立，故1不是此集合的聚点．③集合{Z}中的元素是整数，故对a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x﹣1|＜a成立，∴1不是集合Z的聚点．④集合{y|y=2x}=（0，+∞），a＞0，一定x∈M，使0＜|x﹣1|＜a 成立，故此集合以1为聚点．
故选A．
【考点精析】本题主要考查了函数的定义域及其求法和函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题．