Question

【题目】三棱柱中，是的中点，与交于点，在线段上，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，，三棱锥的体积为，求三棱柱的高.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)6.

【解析】解法1：

（Ⅰ）连结，交于点，连结.则有.

由题意，可知，所以，

　　　　 所以，故，

　　　　 又，所以，

　　　　 所以，

　　　　 又因为平面,平面,

所以平面.　

（Ⅱ）设三棱柱的高为.

在中，

由余弦定理，得，

即，解得，

所以的面积为，

由（Ⅰ）可知，点到平面的距离等于点到平面的距离，

所以，

又因为，

所以，故，

又，

所以，解得，

故三棱柱的高为6.

解法2：（Ⅰ）取的中点，连结.则有，

　　　　 所以四边形为平形四边形，故，

　　　　 又平面,平面,

所以平面.

由题意，可知，所以，

　　　　 故∽，所以，

　　　　 又，故.

　　　　 又，所以，

　　　　 又平面,平面,

所以平面，　

　　　　 又因为平面，，

　　　　 所以平面平面.

　　　　 又平面，

所以平面.　

（Ⅱ）同解法1.