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(12分)如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率,过点 和的直线与原点的距离为

(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点,若直线与椭圆交于两   点.问:是否存在的值,
使以为直径的圆过点?请说明理由.

(1).(2)存在,使得以CD为直径的圆过点E。

解析试题分析:(1)设椭圆的标准方程,根据离心率求得a和c关系,进而根据a求得b,则椭圆的方程可得.
(2)由题意知,直线l的参数方程,代入椭圆方程联立消去x,y,要使以CD为直径的圆过点E(-1,0),当且仅当CE⊥DE时成立,利用关系式得到k的值。
解:(1)直线AB方程为:bx-ay-ab=0.
依题意 解得  
∴ 椭圆方程为.                  4分
(2)假若存在这样的k值,
   .6分
∴     ①
,则    ②   8分

要使以CD为直径的圆过点E(-1,0),当且仅当CE⊥DE时,则,即
  ∴  ③
将②式代入③整理解得.     经验证,,使①成立.
综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E.   12分
考点:本题主要考查了椭圆的方程与其几何性质的运用。直线与圆锥曲线的综合问题.此类题综合性强,要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用.
点评:解决该试题的关键是熟悉圆锥曲线的基本性质,能运用a,b,c准确表示,而对于是否存在要使以CD为直径的圆过点E,转化为垂直的关系式得到。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本题满分12分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线与该椭圆相交于,且,求椭圆的方程.

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(本小题满分12分)已知双曲线的一条渐近线方程是,若双曲线经过点,求此双曲线的标准方程。

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(本小题满分14分)设椭圆)经过点,其离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ) 直线交椭圆于两点,且的面积为,求的值.

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(本小题满分14分)
已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴上. 且经过点
(1)求抛物线的方程;
(2)若动直线过点,交抛物线两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.

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已知椭圆过点,且离心率

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围。

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(本题16分)在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)是否存在点,使得直线与抛物线相切于点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点与圆有两个不同的交点,求当时,的最小值.

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(本小题满分13分)在平面直角坐标系中,已知椭圆)的左焦点为,且点上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线的斜率为2且经过椭圆的左焦点.求直线与该椭圆相交的弦长。

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△ 是面积为4的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程.

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