Question

设数列{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=2，a₃-a₂=12，数列{b_n}满足：b_n=log₃

3n

2

+log₃a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）数列{c_n}满足：c_n=

bn+1-bn

3 2 an-1

，求证：c₁+c₂+…+c_n＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出数列{a_n}的公比为q，由已知列式求出公比，则数列{a_n}的通项公式可求；                               
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入bn=log3

3n

2

+log3an，化简后可得数列{b_n}是等差数列，利用等差数列的前n项和求得答案；                              
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）有cn=

bn+1-bn

3 2 an-1

=

2

3n-1

，放缩得到

2

3n-1

≤

1

3n-1

，利用等比数列求和后证得答案．

解答： （Ⅰ）解：设数列{a_n}的公比为q，由a₁=2，a₃-a₁=12，
得2q²-2q-12=0，即q²-q-6=0．                                    
解得q=3或q=-2，
∵q＞0，
∴q=-2不合舍去，
∴an=2×3n-1；                                 
（Ⅱ）解：由bn=log3

3n

2

+log3an，得
bn=log3(

3n

2

×2×3n-1)=log332n-1=2n-1，
∴数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=2的等差数列，
∴Sn=

n(1+2n-1)

2

=n2；                                                 
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）（Ⅱ）有cn=

bn+1-bn

3 2 an-1

=

2

3n-1

，
∵n≥1时，3^n-1≥1，
∴3ⁿ-1≥2×3^n-1，
∴

2

3n-1

≤

1

3n-1

，
则c1+c2+…+cn=

2

3-1

+

2

32-1

+…+

2

3n-1

≤

1

30

+

1

3

+…+

1

3n-1

=

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)＜

3

2

．
∴原不等式成立．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．