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已知函数f(x)=x3+x2+ax+b,g(x)=x3+x2+ 1nx+b,(a,b为常数).
(1)若g(x)在x=l处的切线方程为y=kx-5(k为常数),求b的值;
(2)设函数f(x)的导函数为f’(x),若存在唯一的实数x0,使得f(x0)=x0与f′(x0)=0同时成立,求实数b的取值范围;
(3)令F(x)=f(x)-g(x),若函数F(x)存在极值,且所有极值之和大于5+1n2,求a的取值范围.
(1);(2);(3)

试题分析:(1)根据导数的几何意义,先求 ,利用,然后将代入,求出`,此点也在函数f(x)上,代入,即可求出;
(2)根据,消去,得到关于的三次方程,,此方程有唯一解,令,求出,利用导数求出极值点,以及两侧的单调性,从而分析图像,得到的取值范围;
(3),因为存在极值,所以上有根即方程上有根.得到根与系数的关系,代入极值,得到的取值范围.
试题解析:(1)∵ 所以直线,当时,,将(1,6)代入,得.       4分
(2) ,由题意知消去
有唯一解.
,则,       6分
所以在区间上是增函数,在上是减函数,
,故实数的取值范围是.   9分
(3)
因为存在极值,所以上有根即方程上有根.        10分
记方程的两根为由韦达定理,所以方程的根必为两不等正根.         12分

 所以满足方程判别式大于零
故所求取值范围为            14分
练习册系列答案
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